본 강의는 수학적 모델링을 통해 자연현상, 사회현상, 산업 문제 등을 수리적으로 해석하고 예측하는 능력을 기르는 것을 목표로 한다. 학생들은 전통적인 모델부터 최신 AI 기반 모델까지 다양한 접근을 배우며, Python을 활용한 시뮬레이션과 실제 데이터를 바탕으로 다음과 같은 역량을 습득한다:

🔹 1. 수학적 사고와 모델링 능력 배양
- 연속/이산 모델 (ODE, PDE, Difference Equation 등)의 기본 구조 이해
- 수학적 모델을 세우는 과정: 가정 설정, 변수 정의, 수식화

🔹 2. Python을 활용한 수치 시뮬레이션 구현
- numpy, scipy, sympy, matplotlib 등 실습 도구 활용 능력 향상
-모델에 대한 시뮬레이션 및 시각화 구현

🔹 3. 데이터 기반 모델링과 검증
-실제 또는 시뮬레이션 데이터로부터 파라미터 추정 및 모델 피팅
-수학 모델과 실제 데이터 간의 비교, 해석 및 예측 수행

🔹 4. 확산, 네트워크, 질병 모델링 등의 실세계 응용 역량
-생물/생태계, 환경, 감염병, 사회 네트워크 등 다양한 분야의 응용 사례 분석
-네트워크 기반 확산 모델, 그래프 이론 활용 능력

🔹 5. 최신 모델링 기법 이해 및 구현
-PINN(Physics-Informed Neural Networks), Operator Learning 등 AI 기반 모델 개념 습득
-간단한 신경망 모델을 활용한 수치해법 대체 접근 경험

🔹 6. 종합 프로젝트를 통한 문제 해결 및 팀워크 능력 강화
-현실 문제를 기반으로 한 모델링, 구현, 분석, 보고서 작성 및 발표
-팀 프로젝트를 통해 문제 해결 과정의 협업 능력 함양

이 강의는 수학, 공학, 자연과학, 데이터과학 등 다양한 분야에 적용 가능한 실용적 수학적 모델링 역량을 목표로 하며, 향후 연구 및 산업 문제 해결에 적용할 수 있는 기초를 제공합니다.

Advanced vector calculus, Basic Python

Part I. Basic Python and Simulations (2 Lectures)
1. Python Basics (NumPy, matplotlib)
• Basics of Python and NumPy
• Visualization using matplotlib
2. ODE/PDE Simulations
• Simple Simulation: Brownian Motion
• ODE/PDE Simulations: Logistic and Heat Equation

Part II. Classical Mathematical Models (11 Lectures)
3. Single Species ODE
• Linear, nonlinear, time-dependent models
• Four Population Models: Logistic, Gompertz models
4. Basic ODE Theory
• Equilibrium, Stability, Bifurcation
5. Discrete Models and FDM
 Finite Difference Method for ODE and PDE
 Fixed Point and Linear Stability Test
6. Stochastic Individual Based Models
 IBM for Logistic Population Dynamics
 IBM with Random Walk
7. Two Species Models
• Predator-prey equations
• Lotka-Volterra Competition Equation
8. Conservation Law and PDE
 Conservation law
 Heat Equation
9. Fisher-KPP equation and traveling waves
 Fisher-KPP and traveling waves
10. Slower Diffuser versus Faster Diffuser
 Slower diffuser prevails
 Diffusion in a heterogeneous environment
11. Heterogeneous Random Walk
 Random walk and flu
 Monte Carlo simulations
12. Mass reaction kinetics
 Reversible and Irreversible reaction
 Enzyme reactions
13. Epidemic Models:
 SIR, SIS, SIRS models
 phase plane analysis and solution trajectories

Part III. Recent Modeling Trends (PINN, Deep Learning) (7 Lectures)
14. Model vs Data vs Model+Data
• Data-Driven Modeling
• Model-Driven Modeling
• Hybrid Modeling: Model + Data
15. PINN (Physics-Informed Neural Networks)
• Motivation
• 1D Heat Equation
• PINN Formulation
• PINN vs FDM vs Analytic Solution
16. Operator Learning: Function to Function Mapping
• Motivation
• DeepONet, FNO, Galerkin Transformer
• PINN vs Operator Learning

17. Advances in Physics AI
• Sobolev Learning for PINN
• AL-PINNs
• Sobolev Learning for Operator Learning
• Parametrized PINN for Solving Multiple PDEs
• Separable PINN for Solving High-dimensional PDEs
18. Applications of PINN/Operator Learning
• PINN for Microprocessor Heat Management
• PINN for Lettuce Growth
• opPINN for Plasma
19. Physics AI-based Inverse Problem
• Forward vs Inverse Problem
• Ill-posedness and Basian Inverse Problem
• PINN-based Inverse Problem
• Operator-based Inverse Problem
20. Quantum Machine Learning (QML)
• Paradigm of QML
• Quantum Feature Mao and Inductive Bias
• Example: AQUAS

Part IV. Applications to Industry and Real-World Problems (5 Lectures)
21. Prediction of COVID-19 Spread using Deep Learning
• Hybrid Model of SIR and Neural Network
• Reproduction Index and Spread Prediction
• Interpretation and Implications
22. Real-time Congestion Monitoring using IBM
• Population density modeling in Airports
• Congestion modeling in Subway stations
23. Climate Prediction via PINN
• Two approaches for weather and climate predictions
• Mathematical Formulations
• PA-TFNP (Physics-Aware Tensor Field Neural PDE)
24. Project Workshop: From formation to Interpretation
• Formulation to Method to Implementation to Interpretation